实数是什么？实数包括什么

　　实数集的简介

　　18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的： 实数是什么？

　　实数集的加法公理

　　1.对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R;

　　1.加法有恒元0，且a+0=0+a=a(从而存在相反数);

　　1.加法有交换律，a+b=b+a;

　　1.加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

　　实数集的乘法公理

　　2.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R;

　　2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a(从而除0外存在倒数);

　　2.3乘法有交换律，a·b=b·a;

　　2.4乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c);

　　2.5乘法对加法有分配率，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

　　实数集的序公理

　　3.1∀x、y∈R，x

　　3.2若x

　　3.3若x

　　3.4传递性：若x

　　实数集的完备公理

　　(1)任何一个非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。

　　(2)设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x

　　符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。